Pi

Bilangan $π$ (/paɪ/; èyèjhâ "pi") èngghi panèka konstanta matematika sè abâkkèlè rasio antara kalèlèng sèttong lèngkerran sareng ḍiamèterra. Nilai $π$ kalabân semma' panèka 3,14159. Mènangka bilangan sè istimèwa, $π$ bânnya' èghuna'aghi ḍâlem bidâng èlmo akadhi Matematika bân Fisika. $π$ èkennal mènangka bilangan irasional, artèna bilangan panèka ta' bisa ènyata'aghi saccara mèbis mènangka perbhândhingan ḍuwâ' bilangan bulat. Maskè sapanèka, bilangan pecca'an sadherhana akadhi ${\tfrac {22}{7}}$ segghut èghuna'aghi ka'angghuy nyemma'è nilai π. Kaunikan $π$ jhughân bâḍâ è dèsimalla sè ta' toman marè bân ta' aghâdhuwi pola sè malèr. Salaèn ka'ḍissa, $π$ aropa'aghi bilangan transdèrèn. Artèna $π$ ta' bisa dhâddhi solusi ḍâri persamaan polinomial ponapa bisaos kalabân koèfisièn bilangan bulat. Sèpat transèndèntal panèka ajellasaghi anapa maslahat kèna mengkuadratkan lingkaran aghuna'aghi jangka bân ghârisân ta' mungkin èpamarè. Digit dèsimal bilangan π katon terdistrubusi saccara aca'. Maskè sapanèka, kantos samangkèn ghi' sobung konjèktur sè abhuktèaghi anggheppan kasebbhut.

Sajjhek èbuwân taon sè ampon lèbât, ahli matematika ḍâri bânnya' paradhebbân ampon ajhâr $π$ . Bhângsa Mesir bân Babilonia kèna, $π$ èghuna'aghi ḍâlem pengètongan praktis. Sakètar taon 250 SM, Archimedes ḍâri Yunani ngennalaghi algoritma ka'angghuy nikai $π$ kalabm prèsisi tèngghi. È abad ka-5 M, matematikawan Tiongkok suksès nyemma'è nilai $π$ kantos pètto' angka dèsimal, Matematikawan India ḍâpa' ka lèma' angka dèsimal, kaḍuwâna aghuna'aghi cara gèomètris. Èbuwan taon saterrossa, panemmowan dèrèt ta' hingga ka'angghuy ngètong $π$ mukka' baba' anyar ḍâlem pamahaman nilai panèka.^[1] Simbol Yunani π lu-ghâllu èghuna'aghi sareng William Jones è taon 1706.^[2]

Panemmowan Kalkulus è abad ka-17 aparèng jhâlân pentèng ḍâlem pangètongan bilangan $π$ kantos atosan digit, cokop ka'angghuy kaparlowan ilmiah praktis è jhâmanna. Nangeng, è abad ka-20 bân ka-21, ahli matematika bân èlmo komputer ngembângaghi cara anyar kalabân aghuna'aghi daya komputasi bân suksès malowas rèprèsèntasi dèsimal $π$ kantos triliunan digit. ^[3] Motivasi ḍâri prèstasi panèka tamaso' pengembângan algoritma sè èfisièn ka'angghuy ngètong dèrèt numerik, jhughân noro'è ambisi manossa ka'angghuy nyeta' rèkor anyar. ^[4] Pangètongan panèka jhughân èghuna'aghi ka'angghuy nguji lakonna super komputer bân perangkat kerras komputer konsumèn.

Mènangka kosntanta sè aḍhâsarè lèngkerran, $π$ bânnya' muncul ḍâlem rumus matematika, fisika, bân tèknik, utamana ḍâlem trigonomètri bân geomètri. contona, rumus ka'angghuy lowas kèngkerran bân volume ebbal aropa'aghi aplikasi fundamental. Bilangan panèka jhughân aghâdhuwi perran ḍâlem bidâng èlmo laèn, akadhi kosmologi, fraktal, tèrmodinamika, mèkanika, bân èlèktromagnètisme. Lebbi jhâu pole, $π$ muncul ḍâlem ranca' èlmo sè tampa'na sobung sambhunganna kalabân gèomètri, akadhi tèori bilangan bân statistika. Ḍâlem analisis matematika moḍèren, $π$ bisa jhughân èdèfinisiaghi tanpa rèderènsi langsong ḍâ' gèomètri. $π$ panèka sala sèttong konstanta matematika palèng èkennal, è ḍâlem otabâ è lowar komunitas èlmo pangataowan. Buku-buku sè ajellasaghi tentang bilangan oanèka bânnya' èpaterbi', bân pengètongan rèkorra segghut dhâddhi berta utama.

Pamarèksa'an ḍhâsar

Asma

Simbol sè èghuna'aghi sareng matematikawan ka'angghuy abâkkèlè rasio kalèlèngnga sèttong lèngkerran ḍâ' ḍiamèterra panèka horop Yunani " $π$ . Horop kasebbhut bisa èserrat mènangka pi aghuna'aghi horop latèn. ^[5] Horop kènè' $π$ (otabâ π ḍâlem gaya horop sans-serif) bhidhâ kalabân horop rajâ $\Pi$ , sè abâkkèlè perkalèyan bhârisân. Pamilèan simbol π èrembhâkaghi è bâgiyân pangangghuyân simbol π.

Artèna

$π$ umumma èartè'è mènangka rasio kalèlèng kèngkerran $C$ kalabân ḍiamèterr $d$ :^[6]

\pi ={\frac {C}{d}}

Rasio $C / d$ nilai èpon konstan ta' taghântong ḍâ' okoran lèngkerran. Contona, manabi sèttong lèngkerran aghâdhuwi ḍiamèter ḍukalè lebbi rajâ, saèngghâ nilai rasio $C / d$ bhâkal pagghun paḍâ. Artèna $π$ akadhi panèka kalabân implisit aghuna'aghi gèomètri Èuclides. Maskè ghâghâsân lèngkerran jhughân bisa èpalèbâr ka ḍâlem geomètri non-Euclides, nangèng lèngkerran sè anyar panèka ta' memenuhi polè rumus $π = C / d$ .^[6] bâḍâ jhughân artèna $π$ laènna sè ta' bhut-nyebbhut lèngkerran sakalè, panèka: $π$ èngghi panèka bilangan sè aghâdhuwi nilai ḍukalèna ḍâri bilangan positif palèng kènè' $x$ sè ka'ḍimma $cos (x)$ = 0.^[6]^[7]

Pecca'an kontinu

Ghâmbhâr horop Yunani pi, è ghâbây mènangka mosaik bâto rajâ sè ètèmpèl è tanèyan

Konstanta $π$ sè èropa'aghi ḍâlem bentu' mosaik è lowar gheddhung Matematika è Universitas Tèknik Berlin. Paḍâ bân sadhâjâ bilangan irasional laènna, $π$ ta' bisa èbâkkèlaghi mènangka pecca'an sadherhana. Nangèng bhân-sabbhân bilangan irasional, tamaso' $π$ bisa èbâkkèllaghi sareng dèrèt pecca'an bersarang tak terhingga sè èsebbhut pecca'an kontinu:

\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}

Ambuna pecca'an kontinu è titi' pembâgiyân otabâ bhâkal aparèng nèlay semma'na $π$ ; ḍuwâ' pecca'an 22/7 bân 355/113 kalabân historis èghuna'aghi mènangka panyemma'an ḍâ' $π$ . Maskè pecca'an kontinu sè jhimet (akadhi conto è attas) ka'angghuy $π$ ta' aghâdhuwi pola-pola tertentu, matematikawan ampon nemmo sajumbla pecca'an kontinu generalisasi sè aghâdhuwi pola tertentu, contona: ^[8]

\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}

Sombher

↑ Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
↑ Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. London: J. Wale. pp. 243–263.
↑ π^e trillion digits of π. pi2e.ch. Arsip. Aksès (2025–04–08).
↑ Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997). "The quest for PI". The Mathematical Intelligencer. 19 (1): 50–56. doi:10.1007/BF03024340.
↑ Holton, David; Mackridge, Peter (2004). Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. ISBN 0-415-23210-4., p. xi.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Arndt & Haenel 2006, p. 8
↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., p 183.
↑ Lange, L. J. (1999). "An Elegant Continued Fraction for $π$ ". The American Mathematical Monthly. 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152.

[1] Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.

[jones-2] Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. London: J. Wale. pp. 243–263.

[3] π^e trillion digits of π. pi2e.ch. Arsip. Aksès (2025–04–08).

[4] Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997). "The quest for PI". The Mathematical Intelligencer. 19 (1): 50–56. doi:10.1007/BF03024340.

[5] Holton, David; Mackridge, Peter (2004). Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. ISBN 0-415-23210-4., p. xi.

[Arndt-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 Arndt & Haenel 2006, p. 8

[7] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., p 183.

[8] Lange, L. J. (1999). "An Elegant Continued Fraction for $π$ ". The American Mathematical Monthly. 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]