Faktorial

Faktorial dâri bilangan bulat positif 𝑁 N, ètandhai sareng 𝑁 ! N!, panèka hasèl dâri kabbhi bilangan bulat positif dâri 1 kantos 𝑁 N. Kalabân oca' laèn, faktorial èngghi panèka hasèl sè ètoro'è dâri angka positif kantos angka kasebbhut dhibi'.

Sacara matematis, faktorial ètolès akadhi: N!=N×(N−1)×(N−2)×⋯×3×2×1

Conto:

• 5!=5×4×3×2×1=120
• 3!=3×2×1=6 Faktorial panèka cè' parlona è dâlem matematika, khususèpon è dâlem kombinatorika, probabilitas, bân analisis deret, polana èghunaaghi kaangghuy ngètong jumlah susunan, permutasi, bân kombinasi dâri sèttong set unsur.

Dâsar

Faktorial panèka konsep matematika sè ènyataaghi hasil dâri kabbhi bilangan bulat positif dâri 1 kantos bilangan bulat positif tertentu 𝑁

N. Faktorial dâri 𝑁MN ètandhai sareng 𝑁 ! N!. Sacara matematis, faktorial bisa ètolès akadhi:

N!=N×(N−1)×(N−2)×⋯×3×2×1

Faktorial 0 èdefinisiaghi khusus mènangka 0!= 0!=1, è bâkto faktorial angka negatif ta' èjhârbâ'aghi polana perkalian angka positif sè ètoro'è ta' bisa èlakoni è angka negatif. Definisi dâri 0!0! èpilih kaangghuy ajaga konsistensi dâlem rumus kombinatorika, contona, bâkto èkalkolasi jumlah cara kaangghuy mèlè elemen dâri set kosong.

Conto perhitungan faktorial: 3!=3×2×1=6 4!=4×3×2×1=24 5!=5×4×3×2×1=120 10!=10×9×8×⋯×2×1=3.628.800 Sifat-sifat Faktorial

Rekursif

Faktorial bisa ènyataaghi sacara rekursif, akadhi 𝑁!=𝑁×(𝑁−1)!N!=N×(N−1)!, kalabân dasar 0!=1 0!=1. Akadiye, !=5×4!=5×24=120 5!=5×4!=5×24=120. Properti rekursif panèka aghâbây perhitungan faktorial è dâlem algoritma komputer.

Pertumbuhan sè cè' ceppètta

Faktorial tombu cè' ceppètta polana 𝑁 N ètambâi. Akadiye,10!=3.628.80010!=3.628.800, è bâkto 20!≈2.43×101820!≈2.43×1018

Pertumbuhan eksponensial panèka aghâbây faktorial cè' aghânḍhu'na kaangghuy ngètong jumlah permutasi otabâ kombinasi sè bânnya', sanajân aghâbây ètong manual kaangghuy jumlah sè bânnya' ta' praktis.

Nol Faktorial

Definisi 0!=10!=1 aghâbây konsistensi è dâlem ngètong kombinasi bân permutasi. Contona, jumlah cara kaangghuy mele elemen nol dâri settong settong

n elemen panèka (n0) =n!0!(n−0)! =1(0n)= 0!(n−0)! n!=1.

Aplikasi

Kombinatorik

Faktorial èghunaaghi kaangghuy ngètong permutasi, sè aropaaghi jumlah cara kaangghuy ngator kabbhi elemen è dâlem urutan sè èberri', bân kombinasi, sè aropaaghi jumlah cara kaangghuy mèlè unsur tanpa èparduliaghi urutanna. Contona, permutasi dâri lema' unsur panèka

5 ! = 120 5!=120, bân kombinasi mèlè tello' unsur dâri lema' panèka

(53 = 5!3! × 2! = 10 (35)= 3!×2! 5! =10.

Rumus Binomial bân Seri Taylor

È aljabar bân kalkulus, faktorial muncul è koefisien binomial bân ekspansi deret tak terbatas. Contona, è dâlem rumus binomial: (a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

È dâlem analisis fungsional, faktorial èghunaaghi è deret Taylor kaangghuy ènyataaghi fungsi eksponensial, sinus, otabâ kosinus: ex=n=0∑∞​n!xn​,sinx=n=0∑∞​(−1)n(2n+1)!x2n+1​

Statistik bân Probabilitas

È dâlem statistik bân probabilitas, faktorial èghunaaghi kaangghuy ngètong jumlah susunan objek, analisis probabilitas, bân distribusi diskrit. Contona, jumlah cara kaangghuy ngator lema buku sè bhân-sabbhân è rak panèka 5! = 120 5!=120, bân probabilitas tertentu è dâlem percobaan acak bisa èètong ngangghuy kombinasi berbasis faktorial.

Faktorial panèka konsep sè sèderhana namong aghâdhui peran penting è bânnya' cabang elmo, è antarana kombinatorika, statistik, kalkulus, bân elmo komputer. Pertumbuhan sè cè' ceppètta, sifat rekursif, bân aplikasi sè lebar dhâddhiyâghi alat dasar è dâlem perhitungan matematika. Maske ghâmpang èdefinisiaghi, faktorial nyadhiyaaghi dasar ghâbây bânnya' metode analisis, èpabhâjheng deret, bân pemecahan masalah probabilitas, sè dhâddhiyâghi konsep sè ta' bisa èlang è dâlem matematika.