1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

15.000 jumlah parsial pertama dari 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. Pada grafik ini, bilangan bulat negatif berada di bagian kiri sedangkan bilangan bulat positif berada di bagian kanan.

È ḍâlem matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ panèka ḍèrèt ta' èbâtesi sè suku-sukuna aropa'aghi bilangan bulat positif sè a'orot. Salaèn jârèya, bhân-sabbhân bilangan bulat èghâbây tanḍhâ tamba bân min, sè abhângon deret sè alang-selling. Kalabân notasi jumla'an sigma, jumla m suku partama ḍâri ḍeret bisa ènyata'aghi mènangka:$$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$$Ḍèrèt è attas ḍivergèn. Kalabân oca' laèn, barisân ḍâri jumlah parsial ḍèrèt kasebbhut, (1, −1, 2, −2, 3, ...), ta' ngasèlaghi bâtes sè jellas. Namong, è tengnga abaḍ ka-18, Leonhard Euler nemmo masalah sè ane:$$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$$Jhâjhârbhâ'ân sè èyangghep ketat ḍâlem matematis ngâbây kajhângghâlân panèka ta' èka'ollè kantos abit saterrossa. Hososna, è taon 1890, pan-bârâmpan ahli matematika, akaḍhi Ernesto Cesàro bân Émile Borel, ampon molaè nyâliḍighi bânnya' mètoḍe ba-tamba'an, è antarana reformasi mètoe Euler sè èjhârbâ'aghi kalabân bhâgus, kaangghuy nantoaghi nilai-nilai deret divergen. Kabânnya'an dâri metoḍe ba-tamba'an panèka nanto'aghi nilai ḍèrèt 1 − 2 + 3 − 4 + ... mènangka 1/4. Sala sèttong cara sè ta' bisa nanto'aghi nilai ḍèrèt panèka ba-tamba'anna Cesàro. Ḍhâḍḍhi, parlo cara sè sakoni' lebbi beccè', akaḍhi ba-tamba'an Abel.

Ḍèrèt 1 − 2 + 3 − 4 + ... èhubungaghi sareng ḍèrèt Grandi, 1 − 1 + 1 − 1 + .... Mèlana, Euler makalompo' mènangka kasus hosos ḍâri ḍèrèt umum 1 − 2n + 3 n − 4 n + ..., kalabân n = 1 bân n = 0, èngghi panèka. Salaèn jârèya, ḍèrèt 1 − 2 + 3 − 4 + ... jhughân èhubungaghi sareng masalah Basel. Polana hubungan panèka, Euler nalètè ḍèrèt kasebbhut ka'angghuy ajhâr bhângon masalah laènna sè paḍâ. Panalètèyan panèka aghâbây persamaan fungsional sè samangkèn èkennal mènangka fungsi eta Dirichlet bân fungsi zeta Riemann.

Kaḍivergenana

Suku-Suku (1, −2, 3, −4, ...) è ḍèrèt 1 − 2 + 3 − 4 + ... ta' manyemma' ka 0. Ḍhâḍḍhi, èḍhâsarraghi ḍâri uji suku, ḍèrèt ènyata'aghi ḍivergen. Ḍivergensi bisa jhughân ètojjhuwaghi langsung ḍâri ḍèfinisi ḍèrèt konvergen. Hososna, ḍèrèt ta' hingga èkoca' konvergen manabi bân namong manabi oroḍhân jumla parsialna konvergen dâ' sèttong bâtes. È ḍâlem hal panèka, bâtes panèka nilai ḍâri ḍèrèt sè ta' èbâtesi. Ka'angghuy nojjhuwaghi, jumlah parsial 1 − 2 + 3 − 4 + ... panèka:

1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,